能書き

それっぽいことを書くやつです

畑政義写像で遊ぼう

2016-11-14 追記

描画プログラムの数式に間違いがあり、デモの修正を行いました。 ツイッターで指摘してくれた @sig_colon さん、ありがとうございます

追記ここまで

こんにちは。畑政義写像という写像(関数)があり、大変なことです。

定義はこう

{
{\rm f_1}(z) = az + b\overline{z}
}

{
{\rm f_2}(z) = c(z - 1) + d(\overline{z} - 1) + 1
}

この2つの写像に、a, b, c, d に適当な複素数をそれぞれ入れて

{
z_{n+1} = {\rm f_1}(z_n)
}

{
z_{n+1} = {\rm f_2}(z_n)
}

を繰り返し計算し、複素平面にプロットしていきたくなる、それが人情というものです。 z の定義は2つあるので、写像を適用するたびにプロットする点の数は倍々に増えていきます。これめっちゃわかりにくい(僕は最初意味不明だった)ですが、こんな感じです。

f:id:ikr7:20161102212357j:plain

すると、適当にプログラムを書いて鑑賞していく、ということになります。

まずは基本的なところから、ということで一番有名なパラメータを。葉っぱです。

f:id:ikr7:20170301152118p:plain

これはまた別の葉っぱです。

f:id:ikr7:20170301152240p:plain

突然整列することもあります。

f:id:ikr7:20170301152307p:plain

なんらかの螺旋、二重螺旋です。三角形のようで、そうではないのです。

f:id:ikr7:20170301152351p:plain

トゲトゲしていますが、やはり螺旋です。様々なところで自己相似を成しています。

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マンデルブロ集合の境界を拡大するとこういうのが見えますが、当然これも畑政義写像によるプロットなのです。

f:id:ikr7:20170301152451p:plain

一見して五芒星のようですが、無限の彼方へと落下していきます。

f:id:ikr7:20170301152525p:plain

これはどう見てもドラゴン曲線ですが、やはりこれも畑政義写像によるものであり……

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有名なフラクタルをもう一つ、シェルピンスキーのギャスケットです。かなり歪ではありますが。

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さらにもう一つ、Lévy-C曲線すらも現れてきました。

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いかがでしたでしょうか。まだまだ紹介しきれていないおもしろい図形がたくさんあるんですが、今回はここまでということで。 最後に、描画するプログラムを置いておきます。スライダーをぐりぐり動かして遊んでみてください。以上です

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